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发现被叫上黑板的人不是自己，班杰明稍稍有些遗憾。
这道题他其实已经有了思路。
不过他很快转头看向讲台上的李傲，他也想看看，李傲会怎么处理这道题。
座位上，麦可往凯文那边倾了倾身子，瞥了一眼对方草稿纸上写了一半的推导过程，压低声音问：「怎么样，你有思路了没？」
「有了一点，还在推。」凯文摇摇头，视线转向讲台，「不过以李傲的数论水平，这题应该难不住他。」
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黑板前，李傲拿着粉笔，从头扫了一遍题目条件。
几秒钟的功夫，几种解法已经在脑海里过了个大概。
他没在意背后的窃窃私语，直接抬手落笔。
「先令u=a^(p-1)。题设等价于u=1+p^2c。在p进数中取对数，可得v_p(logu)≥2……」
粉笔在黑板上敲出轻响。他直接越过了繁杂的同余展开，写下结论：
「因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子p^(n+1)。也就是说，a^(p^(n-1)(p-1))≡1modp^(n+1)。」
「如果把指数中的p^(n-1)缩小，并取c不能被p整除的情况，赋值会下降一阶，结论就不再成立。」
这就是数论中的p进数理论——直接用高等数学的标准工具来降维处理竞赛题。
写完最后一行，李傲转过身：
「写完了。」
教室里安静了片刻。
除了卡尔森教授，底下的几个队员基本只看懂了前半段的同余条件，到了p进对数那几行，就看不明白了。
班杰明盯着黑板上的推导，眉头微微皱起。
虽然看不太懂，但凭他的数学直觉，也知道这个思路绕开了大段繁琐的同余展开，比他自己想到的方法简练得多。
「这是什么方法……居然绕开了繁琐的同余展开，比我的做法省了太多步骤。」
他正琢磨着，讲台旁的卡尔森教授开了口。
卡尔森其实有些意外。
他原以为这道题能难住李傲，藉机敲打一下这个上课走神的学员，没料到对方不仅证得轻松，用的还是p进数理论。
毕竟怎么看，这都不像是一个高中竞赛生该掌握的知识。
「这孩子以前系统学过代数数论？」卡尔森暗自思忖。
他轻咳了两声掩饰意外，随即收起随意的神色，向众人强调起IMO解题工具的边界：
「Leo，你这套证明逻辑上确实没问题。但是，用p进数理论解题不符合IMO的规范。在正赛里，像p进数丶群论这种超纲的高数工具是被禁用的。如果你在考场上这么写，一分也拿不到。」
对于接触过高等数学的学生来说，遇到难题的第一反应往往是直接调用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中学生做小学奥数题，总会下意识地列方程一样。
但IMO毕竟不是大学期末考试，参赛者必须用初等数学的方法把问题讲透。
李傲听罢，停下正要走下讲台的脚步，点点头：「这样啊。」
说完，他没怎么迟疑，当即转过身，在黑板的另一侧写起初等解法。
「设a^(p-1)=1+p^2t。那么a^(p^(n-1)(p-1))就等于(1+p^2t)^(p^(n-1))……」
粉笔字写得飞快。
作二项展开后，常数项之后的第一项正好是1+p^(n+1)t，后面的各项都含有更高次的p，因此模p^(n+1)仍然余1。
同理，如果指数里少一个p，且t本身不能被p整除，那么第一个非平凡项只能到p^n，结论就未必成立。
这套初等解法写下来，耗时比刚才也长不了多少。
卡尔森教授迅速检查了一遍。
确认没有任何漏洞后，他愣了一下。
他完全没想到，李傲不仅会用代数数论的方法，换回初等方法后依旧写得这么干净利落。
